回答
厚生年金保険や共済組合に加入したときは、勤務先の事業所から日本年金機構への報告となりますので、市役所での手続きは不要です。
ただし、共済組合の場合、日本年金機構への報告に時間がかかるため、納付書や督促状が届く場合があります。それを防ぐために、共済組合の取得日が確認できるもの、マイナンバーカード等の個人番号確認書類、または年金手帳等の基礎年金番号がわかるもの、本人確認書類、印鑑を持参すれば、国民年金資格喪失の手続きをすることも出来ます。
また、厚生年金保険や共済組合に加入している方の配偶者が扶養になった場合も、配偶者の勤務先から日本年金機構への報告となりますので、市役所での手続きは不要です。